บทที่ 5 เลขฐาน

      

                          คอมพิวเตอร์กับเลขฐาน

                        

แนวคิด

วิวัฒนาการของระบบตัวเลขจากสมัยโบราณเป็นแบบเลขไม่มีหลักใช้คำนวณไม่ได้  ต่อมาจึงสร้างเลขที่มีหลักขึ้นและมีฐานของตัวเลขแตกต่างกัน แต่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือตัวเลขฮินดูที่รู้จักกันในระบบเลขฐาน 10 เลขเหล่านี้มีค่าประจำหลักที่จะแสดงค่าร่วมกับตัวเลขที่ปรากฏอยู่ในตำแหน่งนั้น ระบบฐาน 2  เป็นระบบที่สอดคล้องกับสภาวะของเครื่องมือทางอิเล็กทรอนิกส์ที่มีสภาพเปิดปิดจึงจะเหมาะสมกับเครื่องคอมพิวเตอร์มากที่สุดผู้ใช้งานป้อนข้อมูลเข้าระบบเลขฐาน 10 คอมพิวเตอร์รับข้อมูลไปเปลี่ยนเป็นฐาน 2 เมื่อประมวนผลเสร็จให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นระบบฐาน 10

เนื้อหา

1. ตัวเลขในระบบเลขฐาน
2. ระบบเลขฐานที่เหมาะสมกับเครื่องคอมพิวเตอร์
3. ระบบเลขฐาน 2,8,10 และ 16
4. การเปลี่ยนฐานระหว่างเลขฐาน 2,8 และ 16
5. ตารางเปรียบเทียบเลขฐาน

จุดประสงค์

1. นักเรียนสามารถอธิบายขั้นตอนและวิธีการในการแปลงเลขฐาน ใด ๆ ได้ (K)
2. นักเรียนสามารถเปลี่ยนเลขฐานไปเป็นเลขฐานอื่น ๆ ได้ (P)
3. นักเรียนเห็นความสำคัญของการแปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์ (A)

ตัวเลขในระบบฐาน

วิวัฒนาการของตัวเลขที่มีมาตั้งแต่สมัยโบราณ แลเริ่มใช้ตัวเลขมากขึ้นในยุครุ่งเรื่องของอียิปต์และโรมัน จนมาถึงปัจจุบัน ระบบเลขแบ่งออกเป็น 2 แบบ ได้แก่

1. ระบบเลขที่ไม่มีหลักคือระบบตัวเลขที่แต่ล่ะตัวจะมีค่าประจำตัวเป็นสำคัญไม่ว่าจะวางไว้ในตำแหน่งใดของการเขียน ตัวเลขเหล่านี้ ได้แก่ ตัวเลขโรมัน ตัวเลขอียิปต์ และตัวเลขบาบิโลเนียน

(3) ตัวเลขบาบิโลเนียน เป็นตัวเลขโบราณที่ค้นพบเมื่อประมาณ 4,000 ปีที่ผ่านมา ถูกบันทึกไว้ในแผ่นดินเหนียวที่เรียกว่า Cuneiform ได้แก่   แทน  1  ในค่าปัจจุบัน

 แทน  10

การเขียนได้แก่  คือค่า  23  ในค่าปัจจุบัน

ระบบเลขไม่มีหลักเหล่านี้ไม่สามารถนำมาบวก ลบ คูณ หรือ หาร กันได้ มีความหมายในเชิงการนับจำนวนเท่านั้น

2. ระบบเลขมีหลัก ระบบเลขมีหลักอาจเรียกว่า “ระบบเลขฐาน” ระบบนี้จะเน้นตำแหน่งของตัวเลขแต่ละตัวที่เขียนในตำแหน่งนั้นจะแสดงค่าร่วมด้วยกล่าวคือการเขียนเลขในระบบนี้จะต้องพิจารณา

(1) ค่าประจำตัวเลข

(2) ค่าหลักในตำแหน่งที่ตัวเลขปรากฏอยู่

กำหนดการวางตำแหน่งของตัวเลขเขียนเรียงกัน โดยที่ตัวเลขขวามือสุดจะมีค่าหลักน้อยที่สุด ตัวเลขที่ที่ปรากฏอยู่ในตำแหน่งนี้เรียกว่าเลขที่มีความสำคัญน้อยที่สุด(Least Significant Digit) ส่วนตัวเลขซ้ายมือสุดมีค่าหลักมากที่สุด(Most Significant Digit)

ระบบเลขฐานหรือระบบเลขมีหลัก ได้แก่ ระบบเลขฐาน 10 มีตัวเลขที่ใช้คือ 0→9 ระบบเลขฐาน 2 มีตัวเลขที่ใช้คือ 0,1 ระบบเลขฐาน 3 มีตัวเลขที่ใช้คือ 0,1,2 เป็นต้น

ตัวอย่าง การกระจายค่าของเลข 1458 ของเลขฐานสิบและค่าประจำตำแหน่งของเลข ดังนี้

ตัวอย่างนี้ เลข 1458 มี 4 หลัก และระบบฐาน 10

จากตัวอย่างพบว่าค่าของเลขแต่ละตัวจะแสดงค่าร่วมกับค่าของหลักประจำตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฏอยู่

หมายเหตุ ระบบเลขฐาน 10 ที่ใช้ตัวเลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 เป็นตัวเลขของฮินดูและรับการพัฒนามาเป็นระบบตัวเลขที่ใช้ในปัจจุบัน

ตัวอย่าง การกระจายค่าของ 1101 ของเลขฐาน 2 และค่าประจำตำแหน่งของตัวเลข ดังนี้

ตัวอย่างนี้ เลข 1101 มี 4 หลัก และระบบฐาน 2 ซึ่งใช้ตัวเลข 2 ตัวเท่านั้น คือ 0,1

ข้อสังเกตจากตัวอย่างนี้ในการกระจายบรรทัดที่ 1  พบว่าเป็นการแสดงค่าของตัวเลขแต่ละตัวพร้อมกับค่าของหลักประจำตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฏอยู่   ส่วนบรรทัดที่  2,3,4  เป็นการคำนวณย้อนกลับไปสู่เลขฐาน

ในชีวิตประจำวันเราจะคุ้นเคยกับการใช้ระบบเลขฐานสิบในการคำนวณ  การแลกเปลี่ยนซื้อขาย และใช้ติดต่อสื่อสารทั้งระบบจำนวนที่ใช้อยู่ในปัจจุบันดังกล่าวในบทที่ 1

อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์กลับพบว่าระบบเลขฐานสิบมีความยุ่งยากไม่เหมาะกับการคำนวณของระบบคอมพิวเตอร์เท่ากับเลขฐาน 2 ทั้งนี้เนื่องจากระบบฐาน 2 ใช้ตัวเลข 2 ตัว คือ 0,1 ซึ่งไปสอดคล้องกับสภาวะของเครื่องมือทางอิเล็กทรอนิกส์ที่มี 2 สภาวะ เช่นกัน

พบว่าระบบฐาน 2 เป็นระบบที่เหมาะสมกับวงจรทางอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์

ระบบเลขฐาน 10 ฐาน 2 ฐาน 8 และฐาน 16  ประกอบด้วยตัวเลขดังต่อไปนี้

1. ระบบเลขฐาน 10 คือ  ระบบเลขที่เราใช้อยู่ในปัจจุบันประกอบด้วยตัวเลข 10 ตัว คือเลข 0 ถึง 9
2. ระบบเลขฐาน 2 คือ ระบบเลขที่ประกอบด้วยเลข 2 ตัว คือ 0 ถึง 1
3. ระบบเลขฐาน 8 คือ ระบบเลขที่ประกอบด้วยเลข 8 ตัว คือ 0 ถึง 7
4. ระบบเลขฐาน 16 คือ ระบบเลขที่ประกอบด้วยเลข 16 ตัว คือเลข 0 ถึง 9 และตัวอักษร A ถึง F จะใช้แทนเลข 10 ถึงเลข 15 ตามลำดับ สาเหตุที่ใช้ตัวอักษรแทนเพราะถ้าเขียนเป็น 10 จะเกิดเป็นเลข 2 ที่มีจำนวนมากๆ ดั้งนั้นจะเน้นฐาน 2,8 และ 16 ที่เกี่ยวข้องกับฐาน 10 เป็นสำคัญ

นอกจากตัวเลขระบบเลขฐานที่กล่าวแล้วยังมีเลขฐานอื่นๆ อีก เช่น ฐาน 3  ฐาน 12  เป็นต้น แต่ระบบฐานเหล่านี้ไม่เป็นที่นิยมนำมาใช้

ตารางที่ 2.1  ระบบเลขฐานต่างๆ

ตัวเลขในแต่ละฐานจะเริ่มจาก 0,1 … ไปเรื่อยๆ แต่น้อยกว่าและไม่เกินค่าฐานนั้น

ตั้งแต่ฐาน 11 เป็นต้นไปจะใช้อักษรแทน 10,11,12,13,14,15

ระบบเลขฐานที่เหมาะสมกับเครื่องคอมพิวเตอร์

          ระบบเลขฐาน 2 เป็นระบบเลขที่เหมาะสมที่สุดที่ใช้คำนวณหรือเก็บข้อมูลในคอมพิวเตอร์เนื่องจากเลขฐานสอดคล้องกับธรรมชาติของการทำงานของอุปกรณ์ทางอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์ และการคำนวณของตัวเลขฐาน 2 สามารถทำได้เช่นเดียวกันกับการคำนวณของระบบฐานสิบทั้งหมด ผู้ใช้งานสามารถป้อนข้อมูลในระบบฐานสิบตามปกติได้แล้วเครื่องคอมพิวเตอร์จะเก็บข้อมูลเปลี่ยนไปอยู่ในรูปฐานสอง ทำการคำนวณ ประมวลผล และส่งผลลัพธ์ออกมาให้ในระบบฐานสิบ

ในระบบคอมพิวเตอร์กำหนดหน่วยความจำเป็น Bit และ Byte โดยใช้ระบบเลขฐาน 2

Bit (Binary Digit) คือส่วนที่เล็กที่สุดในหน่วยความจำของเครื่องคอมพิวเตอร์ เก็บค่าไว้เป็นตัวเลข 0 หรือ 1 เท่านั้น

Byte คือกลุ่มของ Bit   ซึ่งแต่ละกลุ่มจะบันทึกข้อมูลแทนตัวเลข 1 ตัว หรือตัวอักษร(Character)1ตัว

จำนวน  Bit   ในแต่ละ   Byte จะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับชนิดของรหัสที่ใช้กับข้อมูลหรือชนิดของเครื่อง

ถ้าใช้ระบบเลขฐาน 2  จำนวน   2  Bit แทนอักษรได้  4 หรือ 22 ตัวอักษร  จะมีรหัสแทนด้วย 00  01  10  11

ระบบการคำนวณของเลขฐานต่างๆ สามารถเปลี่ยนจากระบบฐานหนึ่งไปอีกระบบฐานหนึ่งได้ โดยเฉพาะการเปลี่ยนจากระบบฐานสิบไปเป็นระบบฐานต่างๆ และเปลี่ยนจากระบบฐานอื่นไปเป็นระบบฐานสิบ

ระบบเลขฐาน 2,8,10 และ 16

การเปลี่ยนเลขฐาน 2,8,16 ไปเป็นเลขฐาน 10

สามารถเปลี่ยนเลขฐาน 2,8,16 ไปเป็นเลขฐาน 10 ด้วยหลักการต่อไปนี้

     

หลักการ

1.กำหนดค่าประจำหลักของแต่ละฐานจากน้อยไปมาก

2.การกระจายตัวเลขที่ต้องการคำนวณให้ตรงกับตำแหน่งค่าหลัก

3.คำนวณค่าตัวเลขแต่ละตัวร่วมกับค่าของหลักประจำตำแหน่งที่เลขนั้นปรากฏอยู่

4.นำผลการคำนวณย่อยทั้งหมดรวมกันจะให้ผลลัพธ์เป็นเลขฐาน 10

ระบบเลขฐาน 2 (Binary System)

          ตัวเลขที่ใช้ในระบบมี 0,1 จำนวน 2 ตัว

ข้อสังเกต  1. (10011)2 มี 5 หลัก ค่าประจำหลัก 25-1   = 24   เป็นหลักสูงสุด นั่นคือถ้ามี n หลัก ค่าประจำหลักสูงสุดของฐาน 2 ที่กระจายเรียงลงไปคือ 2n-1

2. การเขียนเลขอื่นที่ไม่ใช่เลขฐาน 10 ต้องเขียนฐานเลขกำกับห้อยไว้

   

ข้อสังเกต  ค่าประจำหลักหลังจุดทศนิยมจะเป็น  2-1, 2-2, 2-3,… ตามลำดับจากตำแหน่งใกล้จุดทศนิยมไปด้วยขวามือ

ระบบเลขฐาน 8 (Octal System)

ตัวเลขที่ใช้ในระบบมี 0,1,2,3,4,5,6,7  จำนวน 8 ตัว  ระบบฐาน 8 ประโยชน์ใช้เขียนแทนฐาน 2  ที่มีจำนวนมาก

ระบบเลขฐาน 16 (Hexadecimal System)

          ตัวเลขที่ใช้ในระบบนี้มี  16 ตัว คือ 0→9 และ A, B, C, D, E, F โดยที่ A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 ระบบฐาน 16 ใช้เขียนแทนเลขฐาน 2 ที่มีจำนวนมากๆ

การเปลี่ยนเลขฐาน 10 ไปเป็นเลขฐาน 2, 8, 16

สามารถเปลี่ยนเลขที่อยู่ในเลขฐาน 10 ไปเป็นเลขฐาน 2, 8, 16   ได้ดังต่อไปนี้

หลักการ

1. ใช้วิธีการหาด้วยการหารสั้น

2. เอาเลขฐาน 10 ที่ต้องการเปลี่ยนเป็นตัวตั้งและเอาตัวเลขฐานที่ต้องการเป็นตัวหาร เช่น ฐาน 2 เอา 2 เป็นตัวหาร

3. การหารกำกับเศษไว้ด้านขวามือ เศษ 0 สำหรับการหารลงตัว

4. คำตอบจะเริ่มจากเศษการหารครั้งสุดท้ายให้เป็นเลขที่มีความสำคัญมากที่สุด (Most Significant Digit) เรียงย้อนกลับไปจนครบเศษที่หาได้

การเปลี่ยนเลขฐาน 10 เป็นเลขฐาน 2

พิจารณาการเปลี่ยนทั้งจำนวนเต็มและทศนิยมและแบบผสมจากตัวอย่าง

          

  

หมายเหตุ ส่วนเลขฐาน 10 ที่เป็นที่นิยม ถ้าต้องการแปลงให้เป็นเลขฐานอื่นๆ ดังกล่าวก็สามารถทำได้โดยการคูณจำนวนทศนิยมนั้นด้วยฐานของเลขที่ต้องการแปลงหลายๆ ครั้ง จนกระทั่งตัวเลขหลังจุดทศนิยมเป็น 0 แต่ถ้าเป็นทศนิยมซ้ำไม่รู้จบก็คูณเท่ากับจำนวนทศนิยมที่เราต้องการ เช่น

– ถ้าต้องการแปลงให้เป็นเลขฐาน  2   ก็ให้เอา   2   คูณ

– ถ้าต้องการแปลงให้เป็นเลขฐาน  8    ก็ให้เอา   8    คูณ

– ถ้าต้องการแปลงให้เป็นเลขฐาน  16   ก็ให้เอา   16  คูณ

   

การเปลี่ยนเลขฐาน  10  เป็นฐาน 8

การเปลี่ยนฐานทำในลักษณะเดียวกันกับฐาน  2  ดังนี้

กรณีที่  1   เมื่อเป็นจำนวนเต็ม

กรณีที่  2  เมื่อเป็นทศนิยม

         

กรณีที่ 3 เมื่อเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

การเปลี่ยนเลขฐาน 10  เป็นฐาน  16

การเปลี่ยนฐานทำในลักษณะเดียวกับฐาน  2  และ ฐาน 8

กรณีที่ 1 เมื่อเป็นจำนวนเต็ม

กรณีที่  2 เมื่อเป็นทศนิยม

          

กรณีที่  3 เมื่อเป็นจำนวนเต็มเศษส่วน

ประโยชน์ของการเปลี่ยนฐานคือเมื่อผู้ใช้ป้อนข้อมูล (Input) เป็นเลขฐาน 10  แล้วเครื่องคอมพิวเตอร์จะเปลี่ยนข้อมูลเป็นเลขฐาน 2 หรือ  8 หรือ  16 แล้วประมวลผลกลับมาใช้เป็น

เลขฐาน 10

การเปลี่ยนฐานระหว่างเลขฐาน 2, 8, และ 16

          การเปลี่ยนฐานของเลขจากระบบฐาน 2  ถ้ามีจำนวนมากๆเครื่องคอมพิวเตอร์สามารถจัดเก็บข้อมูลในรูปฐาน 8 และฐาน 16  ได้และทำนองกลับกันสามารถเปลี่ยนจากฐาน  8  และ 16 กลับไปเป็นฐาน 2 ได้

การเปลี่ยนฐานของตัวเลข  (Base   Conversion)  จากฐานอื่นที่ไม่ใช่ฐานสิบไปอีกฐานหนึ่งที่ไม่ใช่ฐานสิบ โดยปกติแล้วจะทำได้ด้วยขั้นตอนทำไปพักไว้ที่ฐานสิบก่อนแล้วจึงคำนวณต่อไปยังฐานที่ต้องการ เช่น ทำจากฐาน 2 ไปเป็นฐาน 8 จะทำจากฐาน 2 ไปฐาน 10 ก่อน แล้วจึงทำฐานสิบนั้นไปเป็นฐาน 8

การเปลี่ยนเลขฐาน 2 และฐาน 8

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงจากระบบฐาน 2 ไปเป็นฐาน  8 ด้วยวิธีการ 2 แบบที่แตกต่างกันดังนี้

          แบบที่ 1  เปลี่ยนฐาน 2 ไปเป็นฐาน  10 และจากฐาน  10 ไปเป็นฐาน 8

               ตัวอย่าง   จงเปลี่ยน  (110111010)2  ไปเป็นฐาน 8

หมายเหตุ    พบว่าวิธีการนี้ยุ่งยากและยาว ให้พิจารณาการหาในแบบที่ 2

แบบที่ 2 แบ่งกลุ่มตัวเลขของฐาน 2

1. – ถ้าเป็นจำนวนเต็ม แบ่งตัวเลขออกเป็นชุดๆ ละ 3 Bit โดยนับจากขาวมือไปซ้ายมือ ถ้าซ้ายมือสุดไม่ครบ 3 Bit ให้เติม 0 ลงไป

– ถ้าเป็นทศนิยม แบ่งตัวเลขออกเป็นชุดๆ ละ 3 Bit เช่นกัน โดยนับจากซ้ายมือจากตำแหน่งทศนิยมไปขวามือ ถ้าขวามือสุดไม่ครบ 3 Bit ให้เติม 0  ลงไป

2.การทำฐาน 2 ให้เป็นฐาน  8 โดยแบ่งกลุ่มละ 3 Bit  เนื่องจากเลขฐาน 8 มีความสัมพันธ์กับเลขฐาน 2 เป็นกลุ่มๆ ละ 3 Bit  ดังตาราง

3. คำนวณแผ่นกล่องเลขฐาน 2 กลุ่มละ 3 Bit  เป็น  Dynamic  Process

ตารางที่ 2.2 ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเลขฐาน 8  กับเลขฐาน  2

ตัวอย่าง  จงเปลี่ยน (110111010)2  ให้เป็นเลขฐาน  8

ตัวอย่าง  จงเปลี่ยน  (101110.01101)2   ไปเป็นเลขฐาน  8

วิธีทำ    แบ่งกลุ่มที่เป็นจำนวนเต็ม   และทศนิยม

หมายเหตุ  การคำนวณในแต่ล่ะกลุ่ม  3 Bit จำทำให้ลักษณะเดียวกันทั้งจำนวนเต็มและหลักทศนิยม

ในทำนองเดียวกันสามารถทำจากเลขฐาน  8 ไปเป็นฐาน  2  ได้โดยทำเลขฐาน 8 จำนวน 1 ตัวเป็นฐาน 2 ในรูปกลุ่มละ 3 Bit และวางไว้ในตำแหน่งเดิมของเลขฐาน  8

ตัวอย่าง     จงเปลี่ยน (672)8  ไปเป็นเลขฐาน   2

หมายเหตุ   วิธีการแบบที่ 2 จะเปลี่ยนเลขฐานระหว่างฐาน 2 และฐาน 8 ได้รวดเร็วรวบและรัดยิ่งขึ้น

การเปลี่ยนเลขฐาน 2 และ 16

          ตัวเลขระบบฐาน 2 และฐาน 16  จะมีความสัมพันธ์กันโดยที่กลุ่มเลขฐาน 2 กลุ่มละ 4 Bit จะให้ค่าเลขฐาน 16 จำนวน 1 ตัว  (ดูตารางประกอบ)

การเปลี่ยนเลขจากฐาน 2 ไปเป็นฐาน 16 ทำให้ลักษณะเดียวกับการทำจากฐาน 2 ไปฐาน 8 ทั้งจำนวนเต็มและทศนิยมแต่แบ่งกลุ่มละ 4 Bit และทำการคำนวณผ่านDynamic Process Box

ตารางที่ 2.3 ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเลขฐาน  16  กับเลขฐาน  2

จะเห็นว่าเลขฐาน 16 จำนวน 1 หลักสัมพันธ์กับกลุ่มของ Bit ในเลขฐาน 2 จำนวน 4 Bit (Binary Digit) ดังนั้นการแปลงเลขฐาน 2 เป็นฐาน 16 หรือ การเปลี่ยนแปลงฐาน 16 ให้เป็นเลขฐาน 2 ทำได้โดยอาศัยความสัมพันธ์ระหว่างเลขฐาน 2 และฐาน  16

ตัวอย่าง  จงเปลี่ยน  (100100111100)2  ให้เป็นเลขฐาน 16

หลักการ ถ้าเป็นจำนวนเต็ม ต้องแบ่งเลขออกเป็นชุดๆละ 4 Bit โดยนับจากทางขวามาซ้าย ถ้าชุดสุดท้ายมีไม่ถึง 4 Bit ก็ให้เติม 0 ลงไป เมื่อแบ่งเป็นชุดแล้วให้แทนค่าเป็นเลขฐาน 16

ถ้าเป็นทศนิยม ต้องแบ่งเลขออกเป็นชุดละ 4 Bit โดยนับจากทางซ้ายมาทางขวา ถ้าชุดสุดท้ายมีไม่ถึง 4 Bit ก็ให้เติม 0 ลงไป เมื่อแบ่งเป็นชุดแล้วให้แทนค่าเป็นเลขฐาน 16

ตัวอย่าง  จงเปลี่ยน (93C)16   ให้เป็นเลขฐาน 2

วิธีทำ  คำนวณผ่าน Dynamic Process Box ของเลขฐาน 2 เป็นกลุ่มๆละ 4 Bit เท่ากับตัวเลขฐาน  16  จำนวนเต็ม

การเปลี่ยนเลขฐาน  8  และ  16

          การเปลี่ยนเลขฐาน 8 เป็นเลขฐาน 16  เปลี่ยนจากเลขฐาน  16 และเปลี่ยนจากเลขฐาน 16 ไปเป็นเลขฐาน 8 ทำได้หลายวิธีเช่น จากเลขฐาน 8 ไปเป็นเลขฐาน 10 และจากเลขฐาน 10 ไปเป็นเลขฐาน 16 หรือกลับกัน แต่วิธีที่ง่ายคือใช้ความสัมพันธ์ระหว่างฐาน 2, 8 และ 16 โดยเปลี่ยนจากฐาน 8 ไปเป็นฐาน 2 และฐาน 2 ไปเป็นฐาน 16 โดยวิธีคำนวณผ่าน Dynamic Process Box  ดังที่เคยศึกษามาแล้วจะรวบรัดขึ้น

     ตัวอย่าง   จงเปลี่ยน  (3721)8   ให้เป็นเลขฐาน  16

หมายเหตุ

1. ระบบฐาน 16   ค่า  D = 13

2. ในทางกลับกันถ้าจะทำ (7D1)16 ไปเป็นฐาน 8  จะใช้  Dynamic process Box กลับทิศทางกัน โดยเริ่ม Input  เลขฐาน 16 ไปเป็นฐาน 2 (Output) และจากเลขฐาน 2 (Input)  ไปเป็นเลขฐาน  8  (Output)  จะได้เท่ากับ (3721)8

ตารางเปรียบเทียบเลขฐาน

          ตารางการเปรียบเทียบระบบเลขฐาน 2 และเลขฐาน 10

ตารางที่ 2.4 ตารางแสดงการเปรียบเทียนระหว่างระบบเลขฐาน  2 และฐาน  10

ตารางนี้แสดงการเปรียบเทียบค่าประจำหลักของตัวเลขฐาน 2 ในแต่ล่ะตำแหน่งจากหลักค่าสำคัญน้อยที่สุด (Least Significant Digit) ไปหลักสำคัญมากสุด (Most significant Digit) กับค่าของระบบฐานสิบ

ตารางที่ 2.5 ตารางแสดงจำนวนเลขเปรียบเทียบระหว่างฐาน  10, 2, 8, 16

ตารางนี้แสดงการเปรียบเทียบค่าของระบบเลขบานที่สัมพันธ์กันและสามารถใช้อ้างอิงได้ เช่น 10 ในระบบฐานสิบมีค่า (1010)2 มีค่าเท่ากับ (12)8  มีค่าเท่ากับ (A)16 และเปรียบเทียบระหว่างฐาน 8  และฐาน 16 ก็คือ  (12)8  = (A)16  ดั้งนั้นการคำนวณเปลี่ยนฐานสามารถใช้ตารางนี้แทนที่ได้ทันที

ตารางที่ 2.6 ตารางการเปรียบเทียบค่าของหลักระบบเลขฐาน 2, 8, 10, 16

ตารางนี้แสดงค่าประจำหลักของแต่ละระบบฐาน ตั้งแต่ที่สำคัญน้อยสุดไปเรื่อยๆและเรียกชื่อหลักของเลขแต่ละฐานจะพบว่าระบบฐานเลขใหญ่ขึ้น ค่าประจำตำแหน่งจะมากขึ้นหรือเป็นหลักที่มาก เช่น เลขฐาน 2 ในตำแหน่ง 3 จะให้ค่าหลัก 23 = 8 (หลักแปด) แต่เลขฐาน 8 ในตำแหน่ง 3 จะให้ค่าหลัก 83 = 512 (หลักที่ห้าร้อยสิบสอง) จะเก็บค่าข้อมูลจำนวนมาก

การเปลี่ยนเลขฐาน 2, 8, 16 โดยใช้ตารางเปรียบเทียบ

สามารถใช้ตารางที่ 2.5 แทนค่าไปสู่ฐานที่ต้องการได้ หลังจากแบ่งกลุ่มละ 3 Bit สำหรับฐาน 8 และฐาน 4 Bit สำหรับฐาน 16

          ตัวอย่าง จงเปลี่ยน  (1111011011011.110110)2   เป็นเลขฐาน 8 และฐาน 16

วิธีทำ  ทำเป็นเลขฐาน 8 แบ่งกลุ่มละ 3 Bit  หน้าทศนิยมแบ่งจากขวาไปซ้ายถ้าไม่พอให้เติม 0

• เป็นตัวเลขที่เปิดจากตารางความสัมพันธ์ของเลขฐาน 2  และฐาน  8 ตารางที่ 2.5 ดั้งนั้นคำตอบคือ  (17333.66)8
• ทำเป็นฐาน 16 แบ่งกลุ่มละ 4 Bit
• ตัวเลขหน้าทศนิยมแบ่งจากขวาไปซ้าย  ถ้าไม่พอให้เติม 0
• ตัวเลขหลังทศนิยมแบ่งจากซ้ายไปขวา  ถ้าไม่พอให้เติม  0

หาค่าโดยการใช้ตารางที่2.5เปรียบเทียบค่าจากฐาน2ไปเป็นฐาน 16 ดั้งนั้นคำตอบคือ(1EDB.D8)16

หมายเหตุ ในทางกลับกันสามารถใช้ตารางเปรียบเทียบนี้หาค่าจากฐาน 8,16 ไปเป็นฐาน 2 และยังสามารถหาค่าจากฐาน 8 ไปเป็นฐาน 16 ที่มีความสัมพันธ์กันได้